MATERI KULIAH
MATEMATIKA
EKONOMI
STAF PENGAJAR
SRI MARYANTI,SE,M.Si
081365493009
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS LANCANG KUNING
PEKANBARU
Literature:
- Mathematics for economist F Taro yamane
- Fundamental methods of
mathematical economics F Alpha Chiang
- Matematika terapan untuk bisnis
dan ekonomi F Dumairy
- Matematika ekonomi F Syofyan Assauri
- Matematika Ekonomi F Johanes Boediono
Dan Sri Handoko
- Kalkulus F Legowo
- Matematika Ekonomi dan Bisnis F Josep B.Kalangi
Matematika Ekonomi dan Keuangan F D.Sriyono
Materi
Kuliah;
- Teori Himpunan
- Permutasi dan Kombinasi
- Hubungan fungsional
a.
Relasi dan Fungsi
b.
Jenis-Jenis Fungsi dan Grafik
c.
Pengenalan Matrik
- Perpotongan dua buah fungsi
F Konsep keseimbangan Model Linear & Non Liniear
- Diferensial Fungsi Sederhana
-
Interprestasi derivative
pertama
- Penerapan derivative untuk Fungsi Biaya dalam perekonomian
a.
Biaya Produksi
b.
Elastisitas
c.
Penerimaan dan Pengeluaran
- Aplikasi fungsi dalam perekonomian
- Pengaruh pajak dan subsidi dalam
keseimbangan pasar
TEORI HIMPUNAN
Himpunan adalah:
Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek, dengan kata lain
dapat diartikan sebagai suatu kumpulan benda atau objek yang dapat
didifinisikan dengan jelas.
Objek yang mengisi
himpunan disebut anggota / elemen / unsure
Cirri-ciri
himpunan adalah:
- Notasi ditandai dengan huruf
besar.
- Ditandai dengan dua tanda kurung
kurawal.
- Unsur atau Objek yang ada diberi
notasi huruf kecil.
- Apabila ada unsure yang sama
tidak perlu ditulis dua kali.
Himpunan bilangan
terdiri:
- Himpunan bilangan Asli.
- Himpunan bilangan Cacah.
- Himpunan bilangan Genap.
- Himpunan bilangan Ganjil.
- Himpunan bilangan Prima.
Cara penulisan
himpunan:
- Cara Daftar ( Roster Methode ).
Cara ini dapat dilakukan apabila jumlah unsurnya sedikit.
- Cara Kaidah ( Rule Methode ).
Cara ini dapat dilakukan apabila jumlah unsurnya banyak.
Himpunan terdiri
dari:
- Anggota himpunan ditandai dengan
notasi E
- Sub himpunan ditandai dengan notasi C
- Himpunan yang sama ditandai dengan
notasi =
- Himpunan sejajar ditandai dengan
notasi //
Operasi Himpunan
Terdiri dari:
- Gabungan ( U ) F A U B = { X : X E A atau X E B }
- Irisan ( ∩ ) F A ∩ B = { X : X E A dan X E B }
- Selisih Himpunan (
- ) F A – B = { X : X E A atau X E B }
- Komplemen ( A ) F A1 = { X : X E U atau X E A }
- Himpunan Kosong (Ø )
Contoh soal:
Diketahui suatu
himpunan sebagai berikut:
U = {
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }
A = { 3,5,7,9 }
B = { 2,4,6,8,10 }
C = { 2,3,4,5,6,11,12
}
Hitunglah himpunan
tersebut menjadi:
- A U C =
- B ∩ C =
- A ∩ B =
- A ∩ C =
- A – C =
- C – B =
- A’ – C’ =
- B’ – C’ =
- ( A U C ) – ( A ∩ B ) =
- ( B ∩ C ) ∩ ( A – C ) =
- ( A’ – C’ ) U ( B’ – C’ ) =
- ( C – B ) ∩ ( B U C ) =
PERMUTASI DAN KOMBINASI
Permutasi
adalah:
Penyusunan dari objek – objek yang ada kedalam suatu urutan
tertentu.
Dalam permutasi
ini dikenal dengan adanya factorial yaitu:
- Permutasi atas
seluruh objek
n
F Pn
= n!
- Permutasi atas sebagian dari
seluruh objek
n
F Pr = n!
( n – r ) !
- Permutasi Khusus
- Permutasi keliling atau
lingkaran.
- Permutasi dari objek yang sama.
|
|
n!
K =
k1! . k2 !.
k3! ……. kn!
|
|
F
- Permutasi dari objek dengan
pemilihan yang terpilih.
n
F Rr = nr
Azas Permutasi
- Azas perkalian, azas dapat
dihitung apabila terdapat beberapa peristiwa pemilihan.
- Azas pertambanhan, azas ini dapat
dihitung apabila terjadi pemilihan salah satu dari unsurnya.
KOMBINASI : Yaitu kumpulan dari objek yang ada tanpa memperhatikan susunan atau
urutan dari objek tersebut. Jadi apabila objek yang dikombinasikan dapat dipakai
rumus Sbb:
n n!
F Kn =
r! (n – r ) !
HUBUNGAN FUNGSIONAL
Fungsi F
Hubungan 2 buah variable atau lebih yang saling mempengaruhi antara
variable bebas &
tidak bebas
Variabel F Sejumlah data yang dikumpulkan
Variabel terdiri dari:
- Variabel Bebas ( Independent
Variabel )
- Variabel Terikat ( Dependent
Varibel )
Menurut fungsinya, variable terdiri dari:
- Variabel Kualitatif F Sifatnya keterangan.
- Variabel Kwantitatif F Dapat diukur.
Variabel kuantitatif terdiri dari:
- Variabel Kantinue F dapat diukur sekecil kecilnya.
- Variabel Diskrit F Diukur secara bulat.
Menurut Jenisnya fungsi ada 2 macam:
- Fungsi Explisit F Variabel bebas & terikat mudah untuk dibedakan.
Exp: Y = 3 + 6x
- Fungsi Implisit F Variabel bebas & terikat sukar dibedakan.
Exp: 4x – 3y + 24 = 0
Secara Umum fungsi dibagi tiga:
- Fungsi Aljabar
- F. Liniear.
- F. Kuadrat.
- F. Pecah.
- Fungsi Exponensial
- Fungsi Logaritma
Ad. 1. Fungsi Aljabar
Linier
Fungsi Umum
Y = f (X) F Y = a
+ bx
X = f (Y) F X = a
+ by
Exp:
Jika diketahui besarnya suatu fungsi adalah sbb:
1.
Y = 6 + 4x
2.
2y – 8x + 4 = 0
3.
X = 2y + 3
Gambarkan grafik fungsi tersebut karena variable bebas
& terikat belum diketahui maka kita harus membuat scdul, baru dapat membuat
sebuah garfik.
Pembentukan persamaan
Linier ada 4 cara;
- Cara Dwi Koordinat
Y – Y1 X
– X1
=
Y2 – Y1 X2 – X1
Cara ini dapat dibentuk menjadi persamaan linear,
apabila diketahui dua buah titik A & B.
X1 Y1
Exp: Diketahui titik A = ( 3 , 4 )
B = ( 5
, 6 )
X2
Y2
Y – Y1 X
– X1 Y – 4
X – 3
Y2 – Y1 X2 – X1
6 – 4 5 – 3
Y – 4 X
– 3
2 2
2Y – 8 = 2X – 6
= 2Y – 6 F 2Y = 2X – 6 + 8
2Y = 2X + 2 F Y = 2X + 2
2
Bukti: X = 3
Y
= 3 + 1 = 4
X = 5 Terbukti
Y
= 5 + 1 = 6
- Cara koordinat Lereng
Dapat dibentuk menjadi sebuah persamaan linear apabila
diketahui sebuah titik A dan Lereng garisnya (b).
Exp: A = ( 3 ,
7 )
b = 0,5
Y – 7 = 0,5 ( X – 3 )
Y – 7 = 0,5X – 1,5
F
Y = 0,5X + 5,5
- Cara Penggal Lereng
F Dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis (a) dan Lereng garis b
Exp: Jika diketahui lereng 4 Penggal 2 maka
- Cara Dwi Penggal.
F Dapat dibentuk apabila
diketahui Penggal pd sumbu vertical (a) dan
Penggal pd sumbu Horizontal (c)
Exp: Jika
diketahui penggal a = (3) dan penggal c = (-5), maka bentuk persamaan linear
adalah:
3
Y = 3 – X
F
(5)
PENCARIAN AKAR – AKAR PERSAMAAN
LINEAR.
- Cara Subsitusi.
- Cara Eliminasi.
- Cara Determinan.
Exp: Carilah nilai variable dari dua persamaan berikut:
2X + 3Y = 21
X + 4Y = 23
Penyelesaian
- Cara Subsitusi.
Kita rubah salah atu varibel menjadi
X =
Lalu masukan kedalam persamaan 1
2X + 3Y = 21
2 + 3Y = 21
46 – 8Y + 3Y = 21
46 – 5Y = 21
5Y = 46 – 21
25
Y = =
5
5
Nilai X F 2X + 3Y
= 21
2X
+ 3(5) = 21
2X
= 21 – 15
6
X = = 3
2
Kesimpulan
Variabel X = 3
Bisa Dibuktikan
Variabel Y = 5
- Cara Eliminasi
2X + 3Y = 21
X + 4Y = 23
|
1
2
|
3X + 3Y = 21
2X + 8Y = 46 _
|
- 5Y
= - 25
-5Y = -25
-25
Y = = 5
-5
X F X + 4Y
= 23
X + 4(5)
= 23
X = 23 – 20 = 3
- Cara Determinan (Matriks)
Untuk determinan berderajad 2.
aY + bY = C a b C
dX + eY = F d e F
Penyelesaian dapat dilakukan dengan cara
- Mencari nilai D
a b
D = = ae - db
d e
- Mencari nilai
Dx
c b
Dx = = ce - fb
f e
- Mencari Nilai Dy
a c
Dy = = af – dc
d f
Dari sini maka dapat diperoleh nilai X . Y
Dx Dy
Sbb: X1 = , Y
=
D
D
2x + 3y = 21 2 3 2 3
x + 4y = 23 1 4 2 3
D = 2 3 = 2
. 4 – 1 . 3 = 8 – 3 = 5
1 4
Dx = 21 3 = 84
– 69 = 15
23 4
Dy = 2 21 = 46 – 21 = 25
1 23
Dx 15
x =
= = 3
D 5
Dy
25
x = = = 5
D 5
F Apabila terdapat 3 variabel dari persamaan tersebut, maka dapat
dilakukan dengan cara:
-
Eliminasi
-
Determinan (matriks)
CARA ELIMINASI
DAPAT DILAKUKAN:
- Menyamakan Unsur Variabel 1 &
2 F I
- Menyamakan Unsur Variabel 2 &
3 F II
- Menyamakan Unsur Variabel I &
II
- Akan diperoleh hasilnya dari 3
unsur variable
Cara determinan dapat dilakukan dengan:
- Rumus Umum
ax + by + cz = k a
b c K
dx + ey + fz = k d e f = L
gx + hy + iz = k g h I
M
- Mencari nilai determinan (D)
D = d e
f = d e f
d e
g h i g
h i g
h
=
(a e i) + (b f g) + (c d h) – (g e c) – (n f a) – (i d b).
- Mencari nilai determinan x (Dx)
Dx = L e
f = L e f
L e
M h i M
h i
M h
= (K e i) + (b f m)
+ (c L h) – (M e c) – (h f K) – (I L b).
- Mencari nilai Dy
Dy = d L
f = d L f
d L
g M i g
M i
g M
= (a L i) + (K f g)
+ (e d M) – (g L c) – (M f a) – (i d K).
- Mencari nilai Dz
Dz = d e
L = d e L
d e
g h M g
h M g
h
= (a e M) + (b L g)
+ (K d h) – (g e K) – (h L a) – (M d b).
- Mencari nilai-nilai
Dx
x =
D
Dy
y =
D
Dz
z =
D
Exp:
Diketahui 3 Variabel
2a + 4b + 5c = 12
3a – 5b + 5c = 10
a + 2b + 3c = 17
Carilah nilai-nilai a,b, c dari tiga variable tsb dengan cara Eliminasi.
FUNGSI KUADRAT
F F. Non Linear yang variable
bebasnya berpangkat dua dan apabila digambarkan berbentuk parabola.
Bentuk Umum
I F Y = f(x) F Y =
ax2 + bx + c
II F X = f(y) F X =
ay2 + by + c
Ciri-ciri matematika F.
Kuadrat
I Y = f(x) F Y = ax2 + bx + c
1. Menentukan Titik potong dengan sumbu Y F X = 0 maka
Y = c
2. Menentukan Titik potong dengan sumbu X F Y = 0
maka 0 = ax2 + bx + c
Ada 3 kemungkinan nilai diskriminan
Rumus F D = b2 – 4 ac
Dengan asumsi:
-
x1x2 = -b +- b2 – 4 ac
2a
|
|
D
> 0 F terdapat 2 tipot dengan sb x yaitu x1 & x2 F dapat dicari dengan rumus ABC
-
D
= 0 F Terdapat 1 tipot dengan sb x berarti x1 = x2 F x =
- D < 0 F Tidak
terdapat tipot dengan sb x
- Menentukan
titik Puncak F P(x) =
P(y) =
- Menentukan
Sumbu Simetris. F x =
- Membuat Schedul.
- Membuat grafik.
II F X = f(y) F X =
ay2 + by + c
- Menentukan titik potong dengan sumbu X
F Y = 0, maka X = C
- Menentukan titik potong dengan sumbu
Y F X = 0, mka 0 = ay2 + by + c
Ada 3 kemungkinan
nilai diskriminan dengan asumsi:
- D > 0 F terdapat 2 titik potong
dengan sumbu Y yaitu Y1 & Y2 F dapat dicari dengan rumus ABC :
D = 0 F
Terdapat 1 tipot dengan sb y berarti y1
= y2 F
- D < 0 F Tidak terdapat tipot dengan sb y
-
Menentukan titik Puncak F P(x) =
P(y) =
- Menentukan Sumbu Simetris. F x =
- Membuat schedule.
- Membuat Grafik.
Contoh Soal.
Carilah
titik potong & gambarkan grafik fungsi ini
- y = 2x2 +
5x + 4
- x = 3y2 –
3 + 6y
FUNGSI
PECAH
F yaitu suatu fungsi non linear dimana
variable bebasnya merupakan penyebut apabila
digambarkan maka akan berbentuk
hiperbola.
Fungsi Umum F y = f(x) F y =
Untuk membentuk
suatu grafik , harus diperhatikan hal-hal berikut ini :
- Menentukan titik potong sumbu Y → jika X = 0 maka Y
= b / d
- Menentukan titik potong sumbu X → jika Y = 0 maka X
= -b / a
- Menentukan Assimtot Tegak ( AT ) → Y =
∞ maka X
= -d / c
- Menentukan Assimtot Datar
( AD ) → X = ∞ maka
Y = a / c
Contoh soal :
Carilah titik
potong, garis Assimtot dari fungsi pecah berikut ini dan gambarkan grafiknya
1.
Y
= 5 X + 3
8
- 4 X
2.
Y
= 9 – 5 X
7 X - 3
FUNGSI EXPONENTIAL
Yaitu suatu fungsi dimana variable bebasnya merupakan bilangan
pangkat dari suatu konstanta.
Rumus umum :
Y = a x
atau Y
= n x
- a 0
= 1
- a –x = 1
a x
- a1/x =
x√ a
- a m . an =
a m + n
- a m
= a m – n
a n
- ( a m ) k =
a m.k
Contoh soal :
Hitunglah besarnya
nilai Y dari fungsi eksponen dibawah ini.
- Y = 8 0 6. Y
= 4 3 . 4 5
- Y = 7
-4x 7. Y
= 85
83
- Y = 8 5 8 .
Y = ( 63 )4
8 3
- Y = 9 ¾
- Y = 6
X – 3/2
FUNGSI LOGARITMA
Yaitu suatu fungsi
dimana variable bebasnya dalam bentuk logaritma
Rumus Umum :
Y =
a log X →
Log Y =
a + b log
X
1.
Log a . b
= Log a
+ Log b
2.
Log a = Log
a - Log b
b
3.
Log a k = k
. Log a
4.
a Log b
= Log b
Log a
5.
M
= a N →
maka N = a Log
M
Hitunglah nilai Y dari fungsi log
dibawah ini :
1.
Y =
Log 3 . 5
2.
Y =
Log 4
6
3.
Y =
Log 34
4.
Y
= 6 Log 7
5.
6 = 4
n → n
= ?
DIFERENSIAL FUNGSI
SEDERHANA
A.DIFERENSIAL FUNGSI ALJABAR
1.
Y =
C
Dy/dx = 0
2.
Y = X
Dy/dx = 1
3.
Y = X
n
Dy/dx =
n . X n-1
4.
Y =
C . X n
Dy/dx = n .
C . X n-1
5.
Y =
U + V
dimana U = f
(X) dan
V = g (X)
Dy/dx =
du/dx + dv/dx
6.
Y =
U . V
dimana U = f
(X) dan
V = g (X)
Dy/dx = U .
dv/dx +
V . du/dx
7.
Y = U dimana U
= f (X)
dan V =
g (X)
V
8.
Y
= 1
X m
dy/dx
= - m
Xm+1
9.
Y = q√
Xp →
Y = X p/q
Dy/dx = ( p/q ) X
p/q – 1
10. X =
f (Y)
Dy/dx = 1
Dx/dy
B. DIFERENSIAL FUNGSI BERANTAI
11.
Y
= f (U) →
U = g (X)
Dy/dx
= dy/du .
du/dx
12.
Y
= U . V
dimana U =
f(S) dan S = g (X)
V
= h (t) dan
t = f (X)
Dy/dx
= U . dv/dt . dt/dx + V .
du/ds . ds/dx
C.
DIFERENSIAL FUNGSI LOGARITMA DAN
EXPONENTIAL
13.
Y
= Log X
Dy/dx = 1 /
X .
Log e
14.
Y
= Log U
Dy/dx= 1 / U
. Log e . du/dx
15.
Y
= a Log X
Dy/dx =
1
X Ln a
16.
Y
= ( a Log U )n dimana
U = f (X)
Dy/dx =
dy/du ( a Log e ) .
du/dx
U
17.
Y =
Ln X
Dy/dx = 1
/ X
18.
Y
= Ln U
dimana U = f
(X)
Dy/dx
= 1 / U .
du/dx
19.
Y
= Ln U n
Dy/dx =
dy/du . 1/U .
du/dx
20.
Y
= a x
Dy/dx = a x Ln a
21.
Y
= a u dimana
U = f (X)
Dy/dx = au .
Ln a . du/dx
22.
Y
= e u dimana
U = f (X)
Dy/dx = e u .
du/dx
CONTOH SOAL-SOAL LATIHAN
Hitunglah
nilai-nilai diferensial dari data dibawah ini
:
1.
Y = 15
2.
Y =
18 X
3.
Y = X 5
4.
Y = 5 X
4
5.
Y
= X 5 +
4 X 3
6.
Y = ( 2
X3 + 4 ) (
3 X +
5 X2 )
7.
Y = 3 X 2 - 5
2
+ 4 X
8.
Y = 3√ X 5
9.
Y = 1
/ X4
10.
Y
= ( 6 X + 3 ) 3
11.
X
= 5 Y3 + 3 Y2
- 15 Y + 25
12.
Y
= Log 5 X4
13.
Y
= ( 5 – 3 X2 ) 2 ( 2 X
+ 5 X)3
14.
Y
= Log ( 3 X + 5 ) 3
15.
Y
= Ln X 3
16.
Y
= Ln ( 3 X + 5 )
17.
Y
= a x + 2
18.
Y
= e 2x + 3
19.
Y
= Log ( 3 X2 + 2 X
)
20.
Y
= Ln ( 2 X3 + 3 X )2
PENERAPAN FUNGSI DALAM
EKONOMI
Untuk menentukan
penerapan fungsi dalam perekonomian , maka terlebih dahulu kita mengenal adanya
perpotongan dua buah fungsi. Dalam hal ini dua buah fungsi dikatakan berpotongan
apabila kedua buah fungsi tersebut mempunyai sebuah titik persekutuan yang
disebut titik potong. Dimana titik potong antara kedua buah fungsi tersebut
diperoleh dengan mempersamakan kedua buah fungsi itu.yang hasilnya dinamakan
titik keseimbangan (Equilibrium).
Didalam
perekonomian penerapan fungsi dapat dilihat dari adanya perpotongan demand
(permintaan) dan supply (penawaran) yang dinamakan dengan keseimbangan pasar.
Untuk lebih mengetahui dengan jelas penerapan fungsi tersebut dapat ditentukan
sebagai berikut :
Fungsi Permintaan ( Demand = D ) :
a.
Fungsi Linear
b.
Fungsi Kuadrat
c.
Fungsi Pecah
Fungsi Penawaran ( Supply = S ) :
a.
Fungsi Linear
b.
Fungsi Kuadrat
Grafik perpotongan dua buah fungsi (keseimbangan/equilibrium) :
S
E
E
D
D
Q
E
D
AD
Q
AT
Syarat-syarat keseimbangan pasar :
- Titik keseimbangan pasar hanya berlaku untuk nilai-nilai yang
positif
- Titik keseimbangan pasar hanya berlaku untuk titik yang
memenuhi ketentuan bagi kurve permintaan dan kurve penawaran.
Contoh Soal :
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran adalah sebagai berikut :
- Permintaan → P = 15
- 2 Q
Penawaran → P
= 4 +
1,5 Q
- Permintaan → P =
3 Q + 6
2 Q - 2
Penawaran → P
= 3 Q + 2
Tentukanlah titik keseimbangan dari masing- masing soal tersebut dan
gambarkan grafiknya.
PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI
DALAM PENERAPAN FUNGSI
Pajak : Adalah merupakan pungutan yang
ditarik oleh pemerintah terhadap wajib pajak, tanpa mendapatkan balas jasa
secara langsung.
Pajak yang akan dimasukan dalam
menentukan keseimbangan ini adalah pajak per-unit dan pajak prosentase.
Pajak per-unit :
adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu
barang tertentu, dimana barang tersebut besarnya ditentukan dalam jumlah uang
yang tetap untuk setiap unit barang yang dihasilkan.
Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka
bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada pajak : S →
P =
f ( Q )
Sesudah ada Pajak : S → Pt =
f ( Q ) + t
Pajak Prosentase:
Adalah pajak yang dikenakan terhadap suatu barang tertentu dimana
pajak tersebut diperhitungkan sebesar prosentase yang tetap dari hasil
penerimaannya.
Yang dikenakan pajak disini adalah penawaran ( Produsen ), maka
bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada pajak : S →
P =
f ( Q )
Sesudah ada Pajak : S → Pr =
f ( Q ) ( 1 + r )
SUBSIDI :
Merupakan bantuan
yang diberikan pemerintah kepada produsen
/ supplier terhadap produk yang dihasilkan atau dipasarkannya sehingga
harga yang berlaku dipasar adalah harga yang diinginkan pemerintah yaitu harga
yang lebih rendah dengan jumlah yang dapat dibeli masyarakat lebih besar.
Besarnya subsidi
yang diberikan biasanya tetap untuk setiap unit barang yang dihasilkan atau
dipasarkan.
Yang dikenakan subsidi disini adalah penawaran ( Produsen ), maka
bentuk fungsinya adalah:
Sebelum ada subsidi : S →
P =
f ( Q )
Sesudah ada subsidi : S → Ps =
f ( Q ) - S
GRAFIK FUNGSI DARI PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI
- GRAFIK PENGARUH PAJAK
P
P1
S (sebelum ada pajak)
P0 E1
E
Q1 Q0 Q
- GRAFIK PENGARUH
SUBSIDI
P
S (S sebelum ada subsidi)
P0 S1
(sesudah ada subsidi)
P1 E
E1
Q0 Q1 Q
Contoh Soal :
Diketahui fungsi permintaan dan
penawaran adalah sebagai berikut :
- Permintaan → P = 16 – 4 Q
Penawaran →
P = 5
+ Q
Jika terhadap barang tersebut dikenakan pajak per-unit
Rp 3,-, pajak persentase 25 % , dan subsidi Rp 2,- per-unit, maka berapakah
titik keseimbangan sebelum dan sesudah ada pajak, serta gambarkan grafiknya.
- Permintaan → P = 2 Q2 -
7 Q + 10
Penawaran → P
= 6 Q + 3 Q2 + 8
a.
Jika terhadap barang tersebut
dikenakan pajak sebesar Rp 2 per-unit, maka tentukan keseimbangan sebelum dan
sesudah ada pajak.
b.
Jika terhadap barang tersebut
dikenakan subsidi sebesar Rp 3 per-unit, maka tentukan keseimbangan sebelum dan
sesudah ada subsidi.
c.
Gambarkan grafik dari kedua
soal tersebut.
Cara Menghitung Nilai
Pajak dan Subsidi :
- Pajak per-unit yang ditanggung oleh produsen
Ts
= Po -
f ( S )
Dimana: Po
adalah Nilai P eq sebelum ada pajak
F (S) = fungsi supply yang nilai Q diambil
dari nilai Q setelah
ada
pajak .
- Total pajak yang ditanggung oleh Produsen
Px = Ts
× Qt
- Pajak per-unit yang ditanggung konsumen
Td = Pt
- Po
- Total Pajak yang ditanggung konsumen
Kx = Td
× Qt
- Besarnya Pajak yang diterima pemerintah
Qt × t →
untuk pajak per-unit
Qt × ( 1 + r
) → untuk pajak posentase
- Besarnya subsidi yang diberikan oleh pemerintah
Gs = S
× Qs
- Besarnya Subsidi yang dinikmati Konsumen
Ks = ( Po
- Ps ) (Qs)
- Besarnya subsidi yang dinikmati Produsen
Ps = Gs
- Ks
Keseimbangan pasar dua
macam Produk :
Formulasi untuk fungsi permintaan dapat ditulis sebagai berikut
Qdx = a0 - a1
Px + a2 Py
Qdy = b0 + b1 Px + b2 Py
Formulasi untuk fungsi peanawaran dapat ditulis sebagai berikut
Qsx = - m0 + m1
Px + m2 Py
Qsy = - n0 + n1
Px + n2
Py
Dimana :
Qdx = Jumlah yang diminta dari produk X
Qdy = Jumlah yang diminta dari produk Y
Qsx = Jumlah yang ditawarkan dari produk X
Qsy = Jumlah yang ditawarkan dari produk Y
P x
= Harga Produk X
P y
= Harga Produk Y
Variable a, b, m dan n adalah konstanta
Contoh soal :
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari dua macam produk yang
mempunyai hubungan substitusi sebagai berikut :
Qdx = 5
- 2 Px + Py
Qdy = 6
+ Px - Py
Qsx = - 5
+ 4Px - Py
Qsy = - 4 -
Px + 3 Py
Carilah : Harga dan kuantitas dari keseimbangan pasar.
Jawab :
Syarat keseimbangan
pasar Qdx = Qsx atau Qdy
= Qsy
Qdx = 5 –
2 Px +
Py
Qsx = - 5
+ 4 Px – Py -
0 = 10
- 6 Px + 2 Py
Qdy =
6 + Px
- Py
Qsy =
-4 - Px + 3
Py -
0
= 10 + 2 Px – 4 Py
Masukan dalam bentuk persamaan :
0 = 10
- 6 Px + 2 Py →
(X 2) → 0 = 20 - 12
Px + 4 Py
0 = 10 + 2
Px -
4 Py → (X 1) → 0 = 10 + 2
Px -
4 Py +
0 = 30 -
10 Px +
0
10
Px =
30
Px
= 30 / 10 = 3
Maka Py dapat dicari
dari 0 =
10 - 6 Px + 2 Py
-2
Py =
- 10 + 6 Px
-2
Py =
- 10 + 6 (3)
Py = -
10 +
18 → Py = 4
2
Maka Qx dan Qy dapat dicari
dengan memasukan persamaan sbb :
Qx = 5
- 2 Px + Py
Qx = 5
- 2 (3) + 4 jadi
Qx = 3
Qy = 6
+ Px - Py jadi
Qy = 6
+ 3 - 4 =
5
FUNGSI BIAYA DAN PENERIMAAN
Biaya secara umum terdiri dari :
1.
Biaya Total (Total Cost = TC )
= TFC
+ TVC
2.
Biaya tetap Total (Total Fixed
Cost = TFC ) = TC
- TVC
3.
Biaya Variabel Total (Total
Variabel Cost = TVC ) = TC - TFC
4.
Biaya Tetap rata-rata (Avarage
fixed cost = AFC ) = AFC / Q
5.
Biaya variable rata-rata
(Avarage Variabel cost = AVC ) = AVC / Q
6.
Biaya rata-rata (Avarage Cost =
AC ) =
TC / Q
7.
Biaya Marginal ( Marginal Cost
= MC ) =
∆ TC / ∆ Q
Penerimaan = Revenue, terdiri dari :
1.
Total Revenue (TR) = P
x Q
2.
Avarage Revenue (AR) = TR / Q
= P
3.
Marginal Revenue (MR) = ∆ TR
/ ∆ Q
4.
TR maximum akan berada
pada Q =
-b / 2 a
5.
Profit atau keuntungan = TR
- TC
6.
Break Even Point ( BEP ) akan
terjadi pada saat : TR = TC
Contoh Soal:
1. Diketahui Fungsi
permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukan oleh P =
1200 - 2,5 Q
Pertanyaan :
a.
Bagaimanakah persamaan total
penerimaannya
b.
Berapa besarnya total
penerimaan jika barang yang terjual sebanyak 200 unit.
c.
Berapa harga jual per-unit
d.
Hitunglah penerimaan marginal
dari penjualan sebayak 200 unit menjadi 250 unit
e.
Tentukan tingkat penjualan yang
menghasilkan penerimaan total maksimum dan besarnya penerimaan total maksimum
tersebut
f.
Pada tingkat produksi berapa
unit perusahaan ini berada dalam posisi pulang pokok (BEP), jika diketahui TC =
2000 +
100 Q
Soal 2 :
Jika diketahui penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan
adalah sebesar
TR = 20 Q
- 0,10 Q2 sedangkan biaya total yang dikeluarkan adalah sebesar :
TC = 0,25 Q3 – 3 Q2 + 7
Q + 20.
Hitunglah profit perusahaan
ini jika terjual barang sebanyak 10 dan
20 unit.
FUNGSI PRODUKSI
Bentuk fungsi produk total yang non linear pada umumnya berupa
sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan sebuah titik puncak.
Bentuk umum dari fungsi produksi adalah :
Produk Total : P
= f (X)
Produk rata-rata : AP
= P / X
Produk Marginal : MP
= ∆P / ∆X
Secara grafik,
kurve produk total P mencapai puncaknya tepat ketika kurve produk marginal ( MP
=0 ). Sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada posisi titik belok kurva P.
Disamping itu kurva MP memotong kurva AP pada posisi maksimum AP. Hal ini dapat
dilihat pada grafik berikut :
P
P=f (X)
AP
0
X
MP
Contoh soal ;
Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen adalah sebesar ;
P = 9 X2 - X3
Buatlah persamaan produk rata-ratanya, serta hitunglah total
produk dan produk rata-rata tersebut
jika digunakan masukan sebanyak 6 unit. Berapa marginal produknya jika masukan
yang digunakan ditambah 1 unit.
Jawab :
P = 9 X2 - X3 →
AP = P / X
= 9 X - X2
Untuk X = 6 →
P = 9 ( 62 ) - 63 = 108
→ AP
= 9 ( 6 ) - 62
= 18
Untuk X = 7
→ P = 9 (
72 ) - 73 = 98
→
MP = ∆ P /∆ X
= 108 - 98 =
- 10
7
- 6
Kesimpulan ; produk marginal hasilnya negatip, artinya masukan
tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil produksi.